DIARIO DE CLASE 29/03/25

 DERIVADA IMPLICITA

Buenos dias profe, para ser honesto estso temas me estan costando bastante para lograr entenderlos y aunque estudio, creo que no logro dominarlos.

Anexare informacion que pude encontrar en sitios de internet.

Las derivadas implícitas se utilizan cuandose utilizan cuando una ecuación relaciona dos variables (por ejemplo,incógnitaincógnitayyy) de manera implícita, es decir, no de forma directa (comoy=F(incógnita)y = f(x)), sino en una forma más compleja (por ejemplo,F(incógnita,y)=0F(x, y) = 0). En estos casos, no se puede resolver fácilmente parayyen términos deincógnitaincógnita, pero podemos derivar implícitamente para encontrar la derivada deyycon respecto aincógnitaincógnita.

Pasos para calcular una derivada implícita:

  1. Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto aincógnitaincógnita: Al hacerlo, es importante recordar que cuando derivamos términos conyy(que es una función deincógnitaincógnita), debemos aplicar la regla de la cadena, es decir, derivar como siyyfuera de una función deincógnitaincógnita(por ejemplo,ddincógnitay=dydincógnita\frac{d}{dx} y = \frac{dy}{dx}).

  2. Despejardydincógnita\frac{dy}{dx}: Después de diferenciar, obtenemos una ecuación que involucradydincógnita\frac{dy}{dx}Finalmente, nos despejamos.dydincógnita\frac{dy}{dx}para obtener la derivada.

Ejemplo:

Supongamos que tienes la ecuación:

incógnita2+y2=25incógnita

Queremos encontrarlodydincógnita\frac{dy}{dx}.

  1. Derivamos ambos lados con respecto aincógnitaincógnita:

ddx(x2+y2)=ddx(25)\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)

La derivada deincógnita2x^2con respecto aincógnitaincógnitaes2incógnita2x, y la derivada dey2y^2con respecto aincógnitaincógnitaes2y·dydincógnita2y \cdot \frac{dy}{dx}(aplicamos la regla de la cadena). La derivada de 25 con respecto aincógnitaincógnitaes 0, ya que es una constante.

Entonces, tenemos:

2incógnita+2y·dydincógnita=02x +

  1. Despejamosdydincógnita\frac{dy}{dx}:

2y⋅dydx=−2x2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x dydx=−2x2y\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} dydx=−xy\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}

Por lo tanto, la derivada implícita de la ecuaciónincógnita2+y2=25x^2 + y^2 = 25es:

dydx=−xy\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}

Este es un ejemplo básico, pero las derivadas implícitas son muy útiles para resolver ecuaciones más complicadas en las que no es fácil despejar.yyClaramente.



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